Sessanta quesiti, cento minuti, una sola occasione

La scelta che decide tutto: insiemi o albero?

Davanti a un problema con più categorie, la prima mossa non è calcolare ma scegliere lo strumento di rappresentazione. La regola è netta:

Sbagliare strumento è l'errore più costoso di tutto il test: porta a sommare ciò che andava moltiplicato, o a contare due volte le persone che stanno in entrambe le categorie.

Insiemi: le quattro regioni e il principio di inclusione-esclusione

Due insiemi \(A\) e \(B\) dentro un universo \(\Omega\) dividono il mondo in quattro regioni e non una di più: solo \(A\), solo \(B\), entrambi (\(A\cap B\)), nessuno dei due. Chi impara a compilarle tutte e quattro non sbaglia più questi quesiti.

La formula che le lega è il principio di inclusione-esclusione:

Il termine sottratto è la ragione d'essere della formula: sommando \(|A|\) e \(|B|\) gli elementi comuni vengono contati due volte, quindi vanno tolti una volta. Da qui si ricava anche la relazione più utile al test, quella "al contrario":

Un esempio da test

In un cortile ci sono 450 studenti: 80 portano il berretto, 120 la sciarpa, 300 non portano né l'uno né l'altra. Quanti portano solo il berretto?

• Con almeno uno dei due: \(450-300=150\).
• Intersezione: \(80+120-150=50\) portano entrambi.
• Solo berretto: \(80-50=30\).

Nota che senza l'informazione sui 300 il problema sarebbe indeterminato: l'intersezione potrebbe valere qualsiasi numero tra 0 e 80. Il dato "nessuno dei due" non è un di più, è la chiave.

Insiemi inclusi uno nell'altro

Attenzione al caso in cui una categoria è contenuta in un'altra: "tutte le ballerine professioniste conoscono il russo" significa \(B\subseteq R\), cioè il cerchio delle ballerine sta dentro quello di chi conosce il russo. Da \(B\subseteq R\) segue che chi non conosce il russo non è ballerina professionista, ma non il viceversa: conoscere il russo non rende ballerine.

Logica elementare: negazioni, condizioni, sillogismi

I quesiti di logica dei test si risolvono quasi sempre disegnando gli insiemi in gioco. Restano tre schemi da conoscere a memoria, perché su questi si costruiscono i distrattori.

① La negazione di "tutti"

La negazione di "tutti gli X sono Y" non è "nessun X è Y", ma "almeno un X non è Y". Allo stesso modo, la negazione di "esiste almeno un X che è Y" è "nessun X è Y". Al test compare quasi sempre come alternativa sbagliata la negazione "eccessiva".

② Necessario e sufficiente

Se "studiare molto fa superare l'esame", allora l'insieme di chi studia molto (\(S\)) è contenuto in quello di chi supera l'esame (\(E\)): \(S\subseteq E\). Studiare molto è una condizione sufficiente, non necessaria: c'è spazio, dentro \(E\) e fuori da \(S\), per chi passa l'esame senza studiare molto. Invertire l'implicazione (\(E\Rightarrow S\)) è l'errore logico più diffuso di tutti.

Cioè: se studiare molto implica passare, allora non passare implica non aver studiato molto. Questa è l'unica inversione lecita, e al test è spesso la risposta giusta.

③ Sillogismi con i diagrammi

Quando il testo dice "alcuni A sono B" e "tutti i B sono C", disegna: il cerchio \(B\) dentro \(C\), e \(A\) che interseca \(B\). Poi leggi dal disegno quali affermazioni sono necessariamente vere — non quelle che potrebbero esserlo. Se riesci a disegnare anche una sola configurazione in cui l'affermazione è falsa, quella risposta va scartata.

Percentuali: le tre situazioni che ricorrono

Una percentuale è una frazione con denominatore 100: \( x\% = \dfrac{x}{100} \). Calcolare il \(x\%\) di una quantità significa moltiplicare per quella frazione. Da qui discendono tre schemi.

① Percentuale di una percentuale: si moltiplica

"Il 70% degli iscritti mangia pizza; tra questi, il 60% beve alcolici." Chi fa entrambe le cose è il \(60\%\) del \(70\%\):

E chi mangia pizza senza alcolici è il resto del 70%: \(70\% - 42\% = 28\%\), che si può scrivere direttamente \(0{,}70\cdot 0{,}40 = 28\%\). La parolina "tra questi" (oppure "di questi", "di loro") è il segnale che si moltiplica.

② Frazioni successive del rimanente: la catena

"Spendo \(\frac13\) dello stipendio per l'affitto, \(\frac25\) del rimanente per il cibo, \(\frac37\) del rimanente per il vestiario." Ogni tappa lavora su ciò che è avanzato dalla precedente, quindi conviene ragionare su quanto resta, non su quanto si spende:

La frazione finale che sopravvive è il prodotto dei rimanenti: \(\frac23\cdot\frac35\cdot\frac47 = \frac{24}{105} = \frac{8}{35}\). Se alla fine restano 105 €, lo stipendio si trova invertendo: \(S \cdot \frac{8}{35} = 105 \Rightarrow S = 105\cdot\frac{35}{8}\).

③ Tornare indietro da una variazione

Un prezzo aumentato del 20% diventa \(P\cdot 1{,}20\). Per tornare al prezzo iniziale non si toglie il 20%: si divide per \(1{,}20\). Ecco perché un aumento del 20% seguito da uno sconto del 20% non riporta al punto di partenza:

In generale due variazioni successive si compongono moltiplicando i fattori, mai sommando le percentuali.

Percentuali e frazioni da riconoscere a colpo d'occhio

Saperle leggere in entrambi i sensi fa risparmiare decine di secondi: quando in un quesito compare \(\frac{3}{14}\), riconoscere subito "poco più del 21%" può bastare per scegliere tra le cinque alternative senza fare la divisione.

Il ripasso indispensabile: l'equazione di secondo grado

Per \(ax^2+bx+c=0\) con \(a\neq 0\), le soluzioni sono

Il discriminante \(\Delta\) non serve solo a calcolare: serve soprattutto a rispondere senza calcolare.

La formula ridotta: quando \(b\) è pari

Se il coefficiente \(b\) è pari conviene porre \(b=2\beta\) e usare

Con \(y^2-6y-27=0\) si ha \(\beta=-3\): \(y=3\pm\sqrt{9+27}=3\pm 6\), cioè \(9\) e \(-3\). Meno passaggi, meno errori di segno, numeri più piccoli sotto radice.

Somma e prodotto: la scorciatoia più redditizia del test

Le due radici soddisfano sempre

Per \(y^2-6y-27=0\) cerchi due numeri con somma 6 e prodotto \(-27\): \(9\) e \(-3\), trovati a mente in tre secondi. Al test, con coefficienti piccoli, questa strada batte sempre la formula risolutiva.

Le equazioni trinomie: una sola idea, tre travestimenti

Si chiama trinomia un'equazione della forma

dove la stessa espressione \(f(x)\) compare al quadrato e al primo grado. La strategia è sempre la medesima, in tre mosse:

1. Sostituisci \(y=f(x)\) e risolvi l'equazione di secondo grado in \(y\).
2. Torna indietro: per ogni \(y\) trovato, risolvi \(f(x)=y\).
3. Verifica l'accettabilità: questa è la mossa che tutti dimenticano, ed è quella che il test controlla.

① Biquadratica: \(y=x^2\)

\(x^4-5x^2+4=0\) diventa \(y^2-5y+4=0\) con \(y=x^2\), da cui \(y=1\) e \(y=4\). Tornando indietro: \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\) e \(x^2=4\Rightarrow x=\pm2\). Quattro soluzioni. Attenzione: un valore \(y<0\) va scartato, perché un quadrato non è mai negativo.

② Esponenziale: \(y=a^x\)

Il segnale è la presenza di \(a^{2x}\) (oppure \(a^2\) elevato a \(x\)) accanto ad \(a^x\). Serve ricordare due identità:

Così \(9^{x}-2\cdot 3^{x+1}-27=0\) diventa \((3^x)^2-6\cdot 3^x-27=0\), cioè \(y^2-6y-27=0\) con \(y=3^x\): si ottiene \(y=9\) e \(y=-3\). Il valore \(-3\) non è accettabile, perché \(3^x>0\) sempre; da \(3^x=9\) segue \(x=2\).

Da qui una scorciatoia potentissima: in \(9^{x}+2\cdot3^{x+1}+10=0\) tutti gli addendi sono positivi, e una somma di positivi non può fare zero. L'equazione non ammette soluzioni reali, e lo si vede in dieci secondi senza scrivere nulla.

③ Logaritmica: \(y=\log x\)

\(\log^2 x-\log x-2=0\) diventa \(y^2-y-2=0\) con \(y=\log x\), da cui \(y=2\) e \(y=-1\). Qui, a differenza delle esponenziali, entrambi i valori vanno bene: il logaritmo può essere negativo. Tornando indietro (base 10): \(\log x=2\Rightarrow x=10^{2}=100\) e \(\log x=-1\Rightarrow x=10^{-1}=0{,}1\). Va invece verificato che gli \(x\) trovati siano positivi, come impone il dominio del logaritmo — e in questo caso lo sono.

Equazioni esponenziali e logaritmiche elementari

Prima delle trinomie, il test propone spesso equazioni immediate, che si risolvono portando i due membri alla stessa base:

Esempio: \(2^{x}+5=13\Rightarrow 2^{x}=8=2^{3}\Rightarrow x=3\). Oppure \(4^{x}=8\): si riscrive \(2^{2x}=2^{3}\), quindi \(2x=3\) e \(x=\frac32\). Il passaggio decisivo è sempre riconoscere la base comune: 4, 8, 16, 32 sono potenze di 2; 9, 27, 81 sono potenze di 3.

Quando la base comune non esiste si passa ai logaritmi: \(2^{x}=5 \Rightarrow x=\log_2 5\).

La condizione di tangenza: \(\Delta=0\)

È un classico assoluto. "Per quale valore di \(c\) la retta è tangente alla parabola?" oppure "per quale \(c\) l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti?": sono la stessa domanda.

Il metodo è meccanico: metti a sistema, porta tutto a primo membro, imponi \(\Delta=0\). Per \(x^2+2x=cx-1\):

Da \(2-c=\pm2\) si ottengono due valori: \(c=0\) e \(c=4\). Geometricamente è ovvio che siano due: da un punto esterno a una parabola partono due rette tangenti. Se una sola compare tra le alternative, è quella la risposta; se compaiono entrambe, la risposta giusta le contiene tutte e due.

Problemi tradotti in equazioni

Alcuni quesiti sono in italiano e vanno tradotti. Due schemi ricorrenti meritano di essere memorizzati.

Numeri e cifre

Un numero di due cifre, con \(x\) decine e \(y\) unità, vale \(10x+y\) — non \(xy\). Scambiando le cifre si ottiene \(10y+x\). Con questa traduzione tutto diventa un sistema lineare. Esempio: la somma delle cifre è 10 e, dividendo il numero per quello con le cifre scambiate, si ottiene 1 con resto 36. La divisione con resto si scrive \(10x+y=1\cdot(10y+x)+36\):

Il numero è \(73\). Il trucco è ricordare che dividendo = divisore × quoziente + resto.

Sconti, aumenti e valori iniziali

"Dopo uno sconto del 15% pago 68 €: quanto costava?" Non si aggiunge il 15%: si divide. \(P\cdot0{,}85=68\Rightarrow P=68/0{,}85=80\) €. La forma generale è sempre valore finale = valore iniziale × fattore, e il fattore è \(1+\frac{p}{100}\) per un aumento, \(1-\frac{p}{100}\) per uno sconto.

I grafici da riconoscere a colpo d'occhio

Una funzione associa a ogni \(x\) del dominio uno e un solo valore \(y\). Sei grafici coprono la quasi totalità dei quesiti: vale la pena saperli disegnare a mano, con i loro valori limite.

Il metodo grafico: contare le soluzioni senza risolvere

Risolvere \(f(x)=k\) significa cercare le intersezioni tra il grafico di \(f\) e la retta orizzontale \(y=k\). Il numero di soluzioni è il numero di punti di incontro. Applichiamolo al quesito classico: per quale funzione \(f(x)=2\) ammette soluzione?

L'ultima riga è la più insidiosa: \(f(x)=2\) richiederebbe \(e^{x}=0\), e l'esponenziale non si annulla mai. Il grafico ha \(y=2\) come asintoto orizzontale: gli si avvicina quanto vuoi, senza toccarlo mai.

Le trasformazioni elementari

Da un grafico noto se ne ottengono altri senza rifare nulla:

• \(f(x)+k\): trasla verticalmente di \(k\) (in alto se \(k>0\));
• \(f(x-k)\): trasla orizzontalmente di \(k\) verso destra;
• \(-f(x)\): ribalta rispetto all'asse \(x\);
• \(f(-x)\): ribalta rispetto all'asse \(y\);
• \(|f(x)|\): ribalta verso l'alto le parti sotto l'asse \(x\).

Così \(y=1-x^{2}\) è la parabola \(y=x^2\) ribaltata (\(-x^2\)) e alzata di 1: vertice in \((0,1)\), rami verso il basso, massimo 1.

Logaritmi: definizione e proprietà

Il logaritmo è l'esponente da dare alla base per ottenere l'argomento:

Tutto qui: ogni volta che un logaritmo ti confonde, riscrivilo in forma esponenziale e il problema si semplifica. Da \(\log_2 8\) alla domanda "2 elevato a quanto fa 8?" — risposta 3.

Le proprietà, e a che cosa servono davvero

La terza è la più usata al test: l'esponente esce dal logaritmo e diventa fattore. Va ricordata anche nella versione che riguarda la base:

Esempio da test: da \(\log_{a^{2}}b^{3}=5\) segue \(\frac32\log_a b=5\), quindi \(\log_a b=\frac{10}{3}\). Chi non conosce questa forma perde due minuti; chi la conosce risponde in venti secondi.

Cambio di base e reciprocità

La seconda formula è il cuore di un quesito ricorrente: se \(\log_a b=p\) e \(\log_b a^{2}=q\), quanto vale \(p\cdot q\)? Basta osservare che \(\log_b a^{2}=2\log_b a=\dfrac{2}{p}\), dunque

Il risultato non dipende né da \(a\) né da \(b\): vale sempre 2.

I valori da sapere a memoria

Le ultime due righe risolvono un quesito noto: dati \(y=\frac12\log_{10}100\) e \(z=2\log_{10}10\), si ha \(y=1\) e \(z=2\), quindi \(y<z\). Nessun calcolo complicato, solo definizione.

Funzioni inverse: leggere il grafico al contrario

Una funzione è invertibile quando a valori diversi di \(x\) corrispondono valori diversi di \(y\): graficamente, ogni retta orizzontale la incontra al massimo una volta. Il grafico dell'inversa è il simmetrico rispetto alla bisettrice \(y=x\).

Esponenziale e logaritmo sono l'una l'inversa dell'altra: è per questo che i loro grafici sono speculari rispetto alla bisettrice, e che \(\log_a(a^{x})=x\).

Il seno non è invertibile su tutto \(\mathbb{R}\) (oscilla e ripassa infinite volte per lo stesso valore), ma lo diventa se lo si restringe all'intervallo \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\), dove è crescente. La sua inversa si chiama arcoseno:

Le formule che devi avere in testa

Due relazioni valgono da sole molti quesiti: nel quadrato di lato \(l\) la diagonale è \(d=l\sqrt2\) (quindi \(l=d/\sqrt2\)); nel triangolo rettangolo vale Pitagora, \(i^{2}=c_1^{2}+c_2^{2}\).

Un classico: il parallelogramma dentro il rettangolo

In un rettangolo di dimensioni \(a\) e \(b\) si costruisce un parallelogramma che ha per base un segmento di lunghezza \(x\) sul lato lungo, e per altezza l'intero lato \(b\). Quanto deve valere \(x\) perché il parallelogramma abbia la stessa area della parte rimanente?

Se l'area del parallelogramma deve uguagliare quella della parte restante, ciascuna delle due vale metà del rettangolo:

Il lato \(b\) si semplifica: il risultato non dipende da \(b\). Riconoscere in anticipo che una grandezza si semplificherà è una delle abilità più utili al test, perché permette di scartare subito tutte le alternative in cui \(b\) compare.

Circonferenza: tangenti, raggi e angoli

Tre proprietà bastano per quasi tutti i quesiti sulla circonferenza:

• il raggio è perpendicolare alla tangente nel punto di tangenza — è il fatto che trasforma ogni problema di tangenza in un triangolo rettangolo;
• da un punto esterno partono due tangenti, di uguale lunghezza;
• l'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco; ogni angolo che insiste su una semicirconferenza è retto.

Da qui il quesito classico: la semiretta \(PT\) è tangente in \(T\) e il segmento \(PO\) misura \(2r\). Quanto vale l'angolo \(\widehat{OPT}\)? Nel triangolo rettangolo \(OTP\) il cateto opposto \(OT\) vale \(r\) e l'ipotenusa \(OP\) vale \(2r\), quindi

Il cateto che è metà dell'ipotenusa è la firma dell'angolo di 30°: vale la pena riconoscerla immediatamente, perché ricorre in decine di quesiti.

Geometria analitica: il minimo indispensabile

Per la retta: \(y=mx+q\), dove \(m\) è il coefficiente angolare e \(q\) l'ordinata all'origine. Due rette sono parallele se \(m_1=m_2\), perpendicolari se \(m_1\cdot m_2=-1\).

Per la parabola \(y=ax^{2}+bx+c\): concavità verso l'alto se \(a>0\), verso il basso se \(a<0\); l'ascissa del vertice è

Il problema di massimo con la parabola

È il quesito di ottimizzazione che compare più spesso, e non richiede derivate. Esempio: con una rete metallica lunga 66 m si vuole recintare un'area rettangolare addossata a una parete (quindi con soli tre lati da coprire). Quali dimensioni danno l'area massima?

Detto \(x\) il lato parallelo alla parete, gli altri due lati misurano ciascuno \(\dfrac{66-x}{2}\), e l'area è

È una parabola con la concavità verso il basso: il massimo è nel vertice.

Il lato lungo la parete misura 33 m, gli altri due 16,5 m ciascuno: il rettangolo ottimo è metà di un quadrato. Non è un caso — nei problemi con tre lati vincolati la soluzione ha sempre questa forma.

La circonferenza goniometrica

È la circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine. Un angolo \(\alpha\) si misura a partire dal semiasse positivo delle \(x\), in verso antiorario se positivo, orario se negativo. Il secondo lato dell'angolo incontra la circonferenza in un punto \(P\), e quel punto ha per coordinate

Gradi e radianti

Un giro completo vale \(360°\) oppure \(2\pi\) radianti: la conversione è una proporzione.

Segni e valori notevoli

I segni si deducono dal disegno, non si imparano a memoria: basta chiedersi in quale quadrante cade il punto \(P\) e se le sue coordinate sono positive o negative.

La tabella dei valori notevoli

Vale poi la relazione fondamentale, conseguenza diretta di Pitagora applicato al triangolo di raggio 1:

Da essa si ricava una quantità partendo dall'altra — ma attenzione al segno, che dipende dal quadrante: se \(\sin\alpha=\frac35\) e \(\alpha\) è nel secondo quadrante, allora \(\cos\alpha=-\frac45\), non \(+\frac45\).

Equazioni goniometriche elementari

Sono la forma più frequente al test: \(\sin x=k\), \(\cos x=k\), \(\tan x=k\). Il metodo è sempre lo stesso — e non finisce con la prima soluzione trovata.

Esempio: \(2\sin x=1\), cioè \(\sin x=\frac12\). Il valore notevole dice \(x=30°\), ma sulla circonferenza ci sono due punti con ordinata \(\frac12\): quello a 30° e il suo simmetrico rispetto all'asse \(y\), a \(180°-30°=150°\). E poiché ogni giro completo riporta allo stesso punto, le soluzioni sono infinite:

In radianti: \(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) oppure \(x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\).

Trigonometria del triangolo rettangolo

È il ponte con la geometria: in un triangolo rettangolo, detto \(\alpha\) uno degli angoli acuti,

dove \(i\) è l'ipotenusa. È la formula che, nel quesito della tangente alla circonferenza, permette di passare da \(\sin\widehat{OPT}=\frac{r}{2r}=\frac12\) alla risposta \(30°\).

Due triangoli meritano di essere memorizzati per intero, perché compaiono ovunque:

• il triangolo 30°-60°-90°, metà di un equilatero: i lati stanno come \(1:\sqrt3:2\) — il cateto minore è metà dell'ipotenusa;
• il triangolo 45°-45°-90°, metà di un quadrato: i lati stanno come \(1:1:\sqrt2\).

Riconoscerli in una figura fa risparmiare tutti i calcoli: se in un triangolo rettangolo un cateto è la metà dell'ipotenusa, gli angoli sono necessariamente 30° e 60°.

Leggere una distribuzione di frequenze

I dati raccolti in classi (intervalli) sono un classico del test. La frequenza percentuale dice quanta parte delle osservazioni cade in ciascuna classe; la somma fa sempre 100%.

La domanda tipica è: qual è la probabilità che un valore estratto a caso sia minore di 25? Le prime due classi stanno tutte sotto 25 e valgono \(10\%+30\%=40\%\). Il valore 25 però cade a metà della terza classe: se, come dice il testo, i dati al suo interno sono distribuiti uniformemente, se ne prende la metà.

Media, mediana, moda

• Media: somma dei valori diviso il loro numero. Se i dati sono raggruppati, si usa la media pesata con le frequenze.
• Mediana: il valore che sta in mezzo ai dati ordinati (il 50% sta sotto, il 50% sopra). Con i dati in classi, è dove la frequenza cumulata raggiunge il 50%.
• Moda: il valore (o la classe) con la frequenza più alta.

Nella tabella qui sopra la classe modale è \([20,30)\) e la mediana cade anch'essa in quella classe, perché la cumulata passa il 50% proprio lì.

Tabelle a doppia entrata

Quando i dati incrociano due caratteri, la tabella contiene già tutte le risposte: la difficoltà è solo capire su quale totale dividere.

Sapendo che uno studente partecipa ad almeno un'attività, qual è la probabilità che provenga dalle classi III-IV? La condizione "sapendo che" restringe il denominatore: non più 150 studenti, ma solo quelli attivi, cioè \(150-50=100\). Tra questi, i III-IV sono \(27+33=60\).

Chi divide per 150 sbaglia — e quel valore, \(60/150\), è sempre presente tra le alternative.

Probabilità: le quattro regole che bastano

La seconda formula — il passaggio al contrario — è la scorciatoia più preziosa. Ogni volta che leggi "almeno uno", calcola la probabilità che non accada nessuno e sottrai da 1: è quasi sempre un conto solo invece di tre.

Estrazioni: con o senza reimmissione?

È la domanda da porsi sempre. Con reimmissione le probabilità restano identiche a ogni estrazione (eventi indipendenti). Senza reimmissione cambiano: da un'urna con 5 rosse su 8, due rosse di fila hanno probabilità \(\frac58\cdot\frac47\), non \(\left(\frac58\right)^2\).

Bayes senza formula: le frequenze naturali

Il teorema di Bayes fa paura in formula e diventa banale se si ragiona su una popolazione concreta. Esempio da test: la macchina A produce 2500 viti all'ora di cui 100 difettose; la macchina B ne produce 5000 di cui 300 difettose.

Percentuale di viti difettose sul totale: \(\dfrac{400}{7500}\approx 5{,}3\%\). E se una vite difettosa proviene da A?

Nessuna formula: si guarda solo la colonna dei difettosi e si chiede quale frazione viene da A. È esattamente ciò che dice Bayes, scritto in un modo che il cervello capisce al volo:

Contare: la regola del prodotto e le sue tre varianti

Se una scelta si compone di fasi successive, il numero totale di esiti è il prodotto delle possibilità di ciascuna fase. È la "regola del menù": con 4 antipasti, 5 primi, 4 secondi, 3 contorni e 4 dessert, i pasti completi sono

Se invece ogni portata può essere saltata, ciascuna fase acquista un'opzione in più ("niente"): \(5\cdot6\cdot5\cdot4\cdot5=3000\) modi diversi di usare il ristorante — uno dei quali consiste nel non ordinare nulla.

Le tre formule, scelte da due domande

Davanti a un conteggio, chiediti: l'ordine conta? e si può ripetere?

Prove ripetute: la distribuzione binomiale

Quando si ripete \(n\) volte la stessa prova indipendente, con probabilità \(p\) di successo, la probabilità di ottenere esattamente \(k\) successi è

Esempio: cinque quesiti con cinque alternative ciascuno, risposti a caso (\(p=\frac15\)). Probabilità di indovinarne esattamente 4?

Il coefficiente \(\binom54=5\) conta in quali posizioni cadono le risposte esatte: dimenticarlo è l'errore standard.

Il criterio del caso peggiore

Quando il quesito chiede una certezza ("quante ne devo prendere per essere sicuro di…"), la probabilità non c'entra nulla. Si ragiona come se l'universo giocasse contro di noi, concedendo l'oggetto desiderato solo quando non ha più alternative.

In un magazzino ci sono 80 scatole, 20 delle quali difettose. Quante bisogna ispezionarne per essere certi di trovarne almeno 4 difettose? Nel caso più sfortunato le prime scatole aperte sono tutte buone: sono 60. Poi, per forza, arrivano le difettose:

Stesso schema con i guanti presi al buio: se in un cassetto ci sono 12 paia bianche e 8 paia nere (40 guanti in tutto), per essere certi di avere un paio bianco (destro + sinistro) il caso peggiore è: tutti i 16 guanti neri, poi tutti i 12 destri bianchi, e solo allora il guanto decisivo:

Punti nel piano: distanza e punto medio

Dati due punti \(A(x_A,y_A)\) e \(B(x_B,y_B)\), due formule risolvono la maggior parte dei quesiti: la distanza (è Pitagora applicato alle differenze di coordinate) e il punto medio (la media delle coordinate).

La retta

Ogni retta non verticale si scrive nella forma esplicita

dove \(m\) è il coefficiente angolare — la pendenza, cioè di quanto sale \(y\) quando \(x\) aumenta di 1 — e \(q\) è l'ordinata all'origine, il punto \((0,q)\) in cui la retta taglia l'asse \(y\).

Il coefficiente angolare da due punti

Parallele e perpendicolari

La parabola

La parabola con asse verticale ha equazione

• la concavità è rivolta verso l'alto se \(a>0\), verso il basso se \(a<0\);
• l'ascissa del vertice (e dell'asse di simmetria) è \(x_V=-\dfrac{b}{2a}\); l'ordinata si trova sostituendo, \(y_V=f(x_V)\);
• il termine \(c\) è l'ordinata del punto in cui la parabola taglia l'asse \(y\), cioè \((0,c)\);
• le intersezioni con l'asse \(x\) sono le soluzioni di \(ax^2+bx+c=0\): due, una sola (\(\Delta=0\), vertice sull'asse) o nessuna, secondo il segno del discriminante.

Progressione aritmetica

Ogni termine si ottiene sommando al precedente una costante \(d\), la ragione. Esempio: \(2,5,8,11,\dots\) con \(d=3\).

La formula della somma è l'idea del piccolo Gauss: sommare il primo e l'ultimo termine, moltiplicare per il numero di termini, dividere per due. Così \(1+2+\dots+100=\dfrac{(1+100)\cdot100}{2}=5050\).

Progressione geometrica

Ogni termine si ottiene moltiplicando il precedente per una costante \(q\), la ragione. Esempio: \(3,6,12,24,\dots\) con \(q=2\).

Dove sta il centro: media, mediana, moda

• la media aritmetica è la somma dei valori divisa per quanti sono: \(\bar x=\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}\);
• la mediana è il valore centrale quando i dati sono messi in ordine (se sono pari, è la media dei due centrali);
• la moda è il valore che compare più spesso.

Quanto sono sparpagliati: range e deviazione standard

Il campo di variazione (range) è la differenza tra il valore massimo e il minimo. La varianza è la media dei quadrati degli scarti dalla media, e la deviazione standard \(\sigma\) è la sua radice: misura quanto in media i dati si discostano dal centro.

Una media pesata serve quando i valori «contano» diversamente: \(\bar x=\dfrac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}\). È il caso di due classi di diversa numerosità: non si fa la media delle medie, si pesano per il numero di studenti.

Le proprietà delle potenze

I radicali

La radice \(n\)-esima è l'esponente frazionario \(\tfrac1n\); valgono quindi le stesse proprietà.

Due mosse ricorrono al test: portar fuori un fattore (\(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2\)) e razionalizzare il denominatore, cioè togliere la radice da sotto la frazione moltiplicando sopra e sotto per essa:

Quantificatori e negazioni

Le parole «tutti», «qualche», «nessuno» sono trappole classiche, soprattutto quando vanno negate. La regola è una sola: la negazione di un'affermazione universale è esistenziale, e viceversa.

«Se… allora»: implicazione, necessario, sufficiente

Dall'implicazione «se A allora B» si può dedurre con certezza una sola cosa in più: la sua contronominale «se non B, allora non A». Le altre due «scorciatoie» sono errori con un nome.

Legata a questo c'è la coppia necessario / sufficiente. In «se A allora B», A è sufficiente per B (basta A perché ci sia B), e B è necessario per A (senza B non c'è A). Esempio: essere pari è necessario ma non sufficiente per essere divisibile per 4 — 6 è pari ma non multiplo di 4.

Cinematica: descrivere il moto

La velocità è lo spazio percorso nell'unità di tempo; l'accelerazione è la variazione di velocità nell'unità di tempo.

Dinamica: le tre leggi di Newton

• 1ª (inerzia): senza forze, un corpo resta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme;
• 2ª (legge fondamentale): una forza produce un'accelerazione proporzionale, \(F=m\,a\) (in newton, \(1\ \text{N}=1\ \text{kg·m/s}^2\));
• 3ª (azione-reazione): a ogni forza corrisponde una forza uguale e contraria.

Lavoro ed energia

Una forza compie lavoro quando sposta il suo punto di applicazione: \(L=F\,s\) (se forza e spostamento sono paralleli), in joule. L'energia è la capacità di compiere lavoro; in meccanica contano due forme:

In assenza di attriti l'energia meccanica totale \(E_c+E_p\) si conserva: è il principio che spiega perché un oggetto che cade acquista velocità mentre perde quota.

La cellula

Tutti gli organismi sono fatti di cellule, e ogni cellula proviene da un'altra cellula. Si distinguono in due grandi tipi:

• procariotiche (batteri): senza nucleo, il DNA è libero nel citoplasma;
• eucariotiche (animali, piante, funghi, protisti): con nucleo che racchiude il DNA e organuli specializzati.

DNA, geni e sintesi delle proteine

Il DNA è una doppia elica formata da quattro basi azotate: Adenina, Timina, Citosina, Guanina. L'appaiamento è rigido — A con T e C con G — perciò le loro quantità sono uguali (regola di Chargaff): se l'adenina è il 30%, anche la timina è il 30%, e a citosina e guanina resta il 20% ciascuna.

Un gene è un tratto di DNA che codifica una proteina; l'informazione è letta a gruppi di tre basi (i codoni). Nella nostra specie il DNA è organizzato in 46 cromosomi (23 coppie) nelle cellule somatiche, e 23 nei gameti (cellule sessuali).

La genetica di Mendel

Ogni carattere è governato da coppie di alleli, uno dal padre e uno dalla madre. Un allele dominante (A) si manifesta anche se presente in copia singola; uno recessivo (a) solo in coppia. Si distingue perciò il genotipo (gli alleli, es. Aa) dal fenotipo (il carattere visibile).

Incrociando due eterozigoti \(Aa\times Aa\), la prole segue rapporti fissi, che il quadrato di Punnett rende evidenti:

Il carattere recessivo ricompare quindi nel 25% della prole. Costruisci tu gli incroci nella simulazione.

L'atomo

Un atomo ha un nucleo con protoni (carica +) e neutroni (neutri), attorno a cui si muovono gli elettroni (carica −).

Il numero di neutroni si ricava per differenza: \(N=A-Z\). Un atomo di sodio con \(A=23\) e \(Z=11\) ha quindi \(23-11=12\) neutroni.

Tavola periodica e legami

Gli elementi sono ordinati per numero atomico crescente in periodi (righe) e gruppi (colonne). Gli elettroni del guscio più esterno sono gli elettroni di valenza e determinano il comportamento chimico. I gas nobili hanno il guscio esterno completo (l'ottetto, 8 elettroni; 2 per l'elio) e per questo sono inerti.

Gli altri atomi tendono a raggiungere l'ottetto legandosi:

• legame ionico: un atomo cede elettroni a un altro (metallo + non metallo, es. NaCl);
• legame covalente: due atomi condividono elettroni (es. \(H_2O\));
• legame metallico: gli elettroni sono liberi di muoversi tra gli ioni.

La mole e le reazioni

La mole è la quantità di sostanza che contiene un numero di particelle pari al numero di Avogadro, circa \(6{,}022\times10^{23}\). La massa molare \(M\) (in g/mol) è numericamente uguale alla massa atomica/molecolare, e lega massa e moli:

Nelle reazioni chimiche la massa si conserva (Lavoisier): gli atomi non si creano né si distruggono, si riorganizzano. Per questo le equazioni si bilanciano, mettendo davanti alle formule i coefficienti giusti perché ogni elemento abbia lo stesso numero di atomi a sinistra e a destra: